Пример 2
Найти максимум функции
f = -2x2 + 3y2 - 3z2 - 7u2 + v2 + 6xz + 2yz - 6yv + 4zu + 10uv - 3x + 10y + 5z - 2u - 6v + 4
при ограничениях
8x - y + v > -21
4y + 2z - 5u < 43
-11z + 7u + 2v < 16
x - y + z + 2u - 2v < 55
z + v > 0
-x + 2u < 51
3y + 2z - v < 7
-28x - 8y + 4z + 7v < 1000

Если функцию представить в матричном виде f(X) = (X,QX) + (L,X) + 4, то
Q =   -2   xy   xz   xu   xv
  0   3   yz   yu   yv
  3   1   -3   zu   zv
  0   0   2   -7   uv
  0   -3   0   5   1

L =   -3  
x
  10
y
  5
z
  -2
u
  -6
v



Результат

Функция имеет в заданной области локальный максимум
fmax = f(X0) = 45,7777777777778

    X0   grad f   sum CkAk
x
  0,5   0   0
y
  1,5   25,6666666666667   25,6666666666667
z
  0,833333333333333   4   4
u
  -0,5   0   0
v
  -0,833333333333333   -21,6666666666667   -21,6666666666667
Ck - множитель Лагранжа для k-го ограничения в условиях Куна-Такера,
Ak - вектор коэффициентов левой части k-го ограничения,
sum CkAk - линейная комбинация векторов для разложения градиента.

Выполнение ограничений и множители Лагранжа
  (Ak , X0)     Bk     Ck
  1,66666666666667
>
  -21     0
  10,1666666666667
<
  43     0
  -14,3333333333333
<
  16     0
  0,5
<
  55     0
  0
>
  0
-
  -13,1111111111111
  -1,5
<
  51     0
  7
<
  7
+
  8,55555555555556
  -28,5
<
  1000     0
Bk - правая часть k-го ограничения.
Желтым цветом выделены строки, которые соответствуют активным в X0 неравенствам.

Глобального максимума функция в заданной области не имеет, так как является неограниченной, например, по направлению вектора V из точки X0: X = X0 + Vt
  f(X) = f(X0 + Vt) = g(t) = at2 + bt + c
  a = 0,74594441792894
  b = -12,8381276548877
  c = 45,7777777777778
X принадлежит области при t > 0,
f(X) > f(X0) при t > 17,21057
    X0   V
x
  0,5   0,736336245097466
y
  1,5   0,00577050107630912
z
  0,833333333333333   0,203364281835586
u
  -0,5   0,103757267891441
v
  -0,833333333333333   0,63690896814717

Выполнение ограничений:
  (Ak , X0)     Bk   (Ak ,V)
  1,66666666666667
>
  -21   6,52182842785059
  10,1666666666667
<
  43   -0,0889757714807995
  -14,3333333333333
<
  16   -0,236888288657013
  0,5
<
  55   -0,132373374654713
  0
>
  0   0,840273249982755
  -1,5
<
  51   -0,528821709314583
  7
<
  7   -0,212868901247071
  -28,5
<
  1000   -15,391758966967

На главную   Пример 1   Пример 3