Пример 1
Найти минимум функции
f = -12x2 - 9013y2 - 123,82z2 + 815v2 + 76w2 + 468xy + 8xz - 196xu + 326xv + 16,86xw + 156,64yz - 104yu + 1562yv + 414,1yw + 14,462zu + 18,048zv + 1562uv - 18836uw - 42vw - 7123x + 54y - 80182z + 31u - 71w + 2156
при ограничениях
61x - 4y - 77z - 1823u + 33v + 206w < 40187
608x + 3019y - 38z + 7021u - 64v + 97w < 1034
y > 0
v > 0
9x - 31y + 42z + u + 705v + 4038w > -41
591x - 21y - 7319z - 549123u + 237v + 3,6w > 78
-109x - 63,65y - 71z + 42u - 4v + 88w < 104
-301x - 23y + 801z + 77w < 30000

Если функцию представить в матричном виде f(X) = (X,QX) + (L,X) + 2156, то
Q =   -12   xy   xz   xu   xv   xw
  234   -9013   yz   yu   yv   yw
  4   78,32   -123,82   zu   zv   zw
  -98   -52   7,231   0   uv   uw
  163   781   9,024   781   815   vw
  8,43   207,05   0   -9418   -21   76

L =   -7123  
x
  54
y
  -80182
z
  31
u
  0
v
  -71
w



Результат

fmin = f(X0) = -54043353,1244107

    X0   grad f   sum CkAk
x
  -78,6394365002622   64442,3272971607   64442,3272971607
y
  77,7224761035322   -1302918,96391612   -1302918,96391612
z
  11,5376422925059   -70284,5737432655   -70284,5737432654
u
  -25,4025662373877   419062,261372727   419062,261372727
v
  87,3585295944478   199303,243834784   199303,243834784
w
  -14,6039599025314   503381,893954361   503381,893954361
Ck - множители Лагранжа в условиях Куна-Такера,
Ak - вектор коэффициентов левой части k-го ограничения,
sum CkAk - линейная комбинация векторов в разложении градиента.

Выполнение ограничений и множители Лагранжа
  AkX0     Bk     Ck
  40187
<
  40187
-
  -2212,25774495927
  1033,99999999997
<
  1034
-
  -497,303706153225
  77,7224761035322
>
  0     0
  87,3585295944478
>
  0     0
  -41,0000000000004
>
  -41
+
  324,539608505763
  13837232,6943226
>
  78     0
  104
<
  104
-
  -2919,97205701765
  30000
<
  30000
-
  -599,843496310171
Желтым цветом выделены строки, которые соответствуют активным в X0 неравенствам.